ARTICLE
Auteur(s) :, Silvy Laporte*
Unité de pharmacologie clinique, Groupe de recherche sur la
thrombose (EA3065), CHU Saint-Étienne Bellevue, Saint-Étienne,
France
Dans la fiche n° 1 (Médecine Thérapeutique ; Vol. 10, n°
3, mai-juin 2004), nous avions abordé les notions de moyennes et
médianes, connues sous le nom de paramètres de tendance centrale.
Nous allons aborder dans cette deuxième fiche la notion de
dispersion autour de la tendance centrale. Pour ce faire, plusieurs
solutions étaient possibles :
- • Faire un lexique avec toutes les définitions scolaires
essentielles pour rentrer dans le vif du sujet, définitions aussi
précises que repoussantes, ne permettant pas de séduire le
clinicien dans sa formation à l’interprétation des
statistiques.
- • Donner les formules complètes sans commentaire afin
que chacun se fasse son opinion sur l’utilité de l’indice calculé
compte tenu des éléments utilisés dans le calcul. On intéresserait
ici une partie encore plus infime du public.
- • Tenter, dans la mesure du possible pour un
statisticien, d’être plus littéraire sur les définitions et
formules afin de vous convaincre de la simplicité et de l’utilité
de ces paramètres dans l’interprétation des résultats des études
cliniques.
Compte tenu des fortes insistances du rédacteur en chef, nous avons
opté pour la dernière solution.Pour une lecture optimale de cette
fiche, il est judicieux de lire tout d’abord la fiche n° 1.
Nous utiliserons d’ailleurs le même tableau de données : il
s’agissait d’une cohorte prospective ayant inclus 1 000 patients
présentant un contrôle glycémique perturbé (HbA1C supérieur à
6,5 %). Tous les patients ont été traités pour une durée de 6
mois avec un nouvel antidiabétique oral. Les données concernant
cette cohorte et les résultats à 1 an sont résumés tableau 1(
Tableau 1 ).
La notion de dispersion
Retour à l’école une fois de plus. Deux élèves de la même classe de
3e comparent leur moyenne générale : tous les deux
ont 10/20 de moyenne (coefficient 1 pour toutes les matières). Les
deux élèves sont donc tout à fait similaires. On peut même regarder
leur médiane : idem, elle est de 10 aussi. Les deux élèves ont
le même espoir de passage en seconde. Pour autant, si on regarde
les notes de plus près, l’élève X a 1 note de 2/20, 9 notes de
8/20, 9 notes de 12/20 et 1 note de 18/20, l’élève Y a 10 notes de
2/20 et 10 notes de 18/20 : ces élèves sont bien
différents ! La moyenne et la médiane ne permettent pas de
nous donner cette information pourtant non négligeable, ce n’est
d’ailleurs pas leur fonction. Il nous faut alors d’autres
paramètres : on pourrait regarder le minimum et le maximum,
mais là aussi on reste sur notre faim, 2 et 18 chez les 2 élèves.
Pourtant, les deux élèves sont foncièrement différents :
l’élève X est plutôt stable, assez constant, peu
« variable » d’une matière à l’autre, avec des notes peu
« dispersées » autour de la moyenne. À l’inverse, l’élève
Y présente des notes très différentes, très
« variables », très dispersées autour de la moyenne.
Afin d’appréhender la notion de dispersion, ce cas simple est
transposable à votre patient traité par AVK au long cours en
prévention secondaire d’événements thromboemboliques. Depuis un an,
son INR moyen est de 2,6. Est-il pour autant bien soigné, avec une
cible bien atteinte ? La moyenne ne permet pas de répondre, et
la question ici coule de source : « Est-il stable autour
de 2,6 ? » Par cette question de clinicien éclairé, vous
abordez la question statistique suivante : « Quelle est
la valeur de l’écart-type ? » ou « Le patient est-il
en général proche de 2,6 ou loin de 2,6 ? ». Seul le
vocabulaire est différent.
On entend ainsi par variabilité ou dispersion
toutes ces notions d’écart par rapport à une valeur centrale. Il
s’agit de termes généraux, ne correspondant pas à un paramètre en
particulier.
Tableau 1 Description de la cohorte et résultat à 1
an
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description
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A l’inclusion
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Sexe : nombre d’hommes (%)
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626 (62.6%)
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Age, années (moyenne ± écart-type)
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63,4 ± 12,2
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Ancienneté du diabète, mois (médiane)
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12,4
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Niveau d’HbA1c, % :
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– moyenne ± écart-type
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7,1 ± 2,2
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– médiane (étendue)
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6,8 (6,5 – 8,7)
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En fin de traitement
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Niveau d’HbA1c, % :
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– moyenne ± écart-type
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6,4 ± 2,0
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– médiane (étendue)
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6,4 (6,1 – 8,8)
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Événements cardiovasculaires (%)
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22 (2,2%)
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Les paramètres usuels de dispersion : l’écart-type, la
variance, le coefficient de variation
Dans le tableau 1, l’âge moyen est de 63,4 ans, complété par une
valeur de 12,2 ans. Cette valeur, qui s’exprime dans la même unité
que la moyenne, représente l’écart-type. Si on voulait transcrire
grossièrement ce que cela signifie, c’est l’écart de toutes les
valeurs à la moyenne.
Imaginons cependant un cas simple à calculer avec 5
valeurs : 30, 30, 40, 40 et 60. La moyenne est de 40 ans
(30 + 30 + 40 + 40 + 60 / 5). Pour savoir si la
population étudiée est relativement homogène, il est nécessaire
d’évaluer l’écart des valeurs individuelles à la moyenne, et d’en
faire la somme pour avoir un indice parlant, voire même d’évaluer
la moyenne de ces écarts. Ici la somme des écarts vaut (30 – 40) +
(30 – 40) + (40 – 40) + (40 – 40) + (60 – 40)
soit (– 10) + (– 10) + 0 + 0 + 20 = 0. Et oui, la somme
fait 0 ! Cela ne signifie pas que la dispersion est nulle,
c’est simplement une propriété mathématique de la moyenne :
elle est exactement au centre des valeurs, et la somme des écarts
de toutes les valeurs à la moyenne est toujours nulle, les écarts
positifs compensant exactement les écarts négatifs.
Il faut donc trouver une astuce mathématique pour construire un
paramètre basé sur le même principe : on pourrait prendre les
valeurs absolues, mais ce n’est pas très commode à utiliser ;
on a alors choisi d’utiliser le carré de ces écarts afin de ne plus
avoir les écarts positifs qui compensent les écarts négatifs. Ici
on aurait donc (– 10)2 + (– 10)2 +
02 + 02+ 202. La moyenne de ces
écarts est donc 100 + 100 + 0 + 0 + 400 / 5 = 600/5 = 120. Vous
venez ici de calculer une variance (qui correspond en bon
français à la moyenne des carrés des écarts à la moyenne).
Attention à la confusion, la variance, ce n’est rien de plus qu’une
moyenne, non pas une moyenne des valeurs mais une moyenne des
écarts au carré.
Le problème de cette variance est qu’il s’agit d’un paramètre
correspondant à des ans², d’où cette valeur très forte de
120 ! Pour exprimer la dispersion en années, on en prend la
racine carrée soit ans. La moyenne est donc de 40 ans avec un
écart-type de 10,9 ans.
La première leçon est que la variance en elle-même est inutile,
elle est juste un intermédiaire statistique au calcul de
l’écart-type (en anglais Standard deviation).
Pour interpréter l’écart-type, on dit que grosso modo, les
valeurs d’âge s’écartent de plus ou moins 10,9 ans (disons 11 ans)
autour de la moyenne de 40 ans. Est-ce beaucoup ? Tout est
relatif, 11 est fort par rapport à 40 car 11/40 = 27 %. Si on
avait une dispersion de 11 ans sur une population d’âge moyen de 80
ans, ce serait tout à fait différent, on aurait 11/80 soit
14 % de variabilité. Le fait de rendre relatif l’écart-type
par rapport à la moyenne est le coefficient de
variation : il exprime, en pourcentage, l’importance de la
variabilité par rapport à la valeur centrale. Cet indice est très
utile lorsque l’on a des populations à comparer dont la moyenne est
différente. Sous une HBPM X, la moyenne des activités anti-Xa 4 h
après injection d’une dose curative vaut 0,8 ± 0,4 UI aXa. Sous
dose préventive, 4 heures après, la moyenne est de 0,4 ± 0,3 UI
aXa. Peut-on penser que la dispersion des pics d’activité anti-Xa
est plus faible en cas de traitement préventif par rapport à un
traitement curatif uniquement parce que l’écart-type est plus petit
(0,3 UI aXa versus 0,4) ? En réalité, relativement à la valeur
moyenne, le coefficient de variation est de 50 % sous dose
curative versus 75 % sous traitement préventif, soit
finalement une dispersion plus importante...
En synthèse, les paramètres les plus utilisés et les plus utiles
sont l’écart-type et le coefficient de variation, la variance
n’étant qu’un intermédiaire mathématique. Existe-t-il d’autres
paramètres de dispersion ?
Étendue, écart inter-quartiles
L’étendue (en anglais Range) est probablement l’indice de
dispersion le plus simple puisqu’il correspond au minimum et au
maximum des valeurs observées. Elle est utile pour connaître les
valeurs extrêmes, mais constitue un résumé trop grossier de la
dispersion. Si on reprend nos deux élèves de 3e, ils ont
tous les deux la même étendue (2-18), et pourtant nous avons vu que
nos deux élèves étaient fort différents avec respectivement un
écart-type de 3,2 et 8 (faites les calculs pour vous entraîner…).
Enfin, il est difficile d’évaluer des écarts à la moyenne si on
considère que la moyenne est un résumé inadapté (cf. fiche n° 1) et
qu’il faut parfois préférer la médiane, qui partage la population
en 50 % en dessous et 50 % en dessus. Pour avoir un
paramètre de dispersion en accord avec la médiane, on évalue les
quartiles Q1 et Q3 : le 1er quartile Q1
partage la population en 25 % des valeurs les plus basses et
75 % les plus hautes, le 3e quartile Q3 partage en
75 % et 25 % (le 2e quartile est la médiane
50 % – 50 %). Si Q1 vaut 35 ans et Q3 vaut 70, cela
signifie que 25 % des patients a moins de 35 ans et 25 %
des patients a plus de 70 ans. Ou encore que 75 % des patients
a moins de 70 ans, ou encore que 75 % des patients ont plus de
35 ans. On retient en général l’expression la plus parlante
cliniquement.
L’écart inter-quartiles consiste à calculer l’écart entre ces
deux valeurs, relativement à la médiane. Si nous reprenons l’âge
des 5 patients, 30, 30, 40, 40, 60, la médiane est de 40 ans, Q1
vaut 30 ans et Q3 vaut 50 ans (valeur entre 40 et 60), soit un
écart inter-quartiles de 30-50 (en anglais Inter-quartile
range). On dit que 50 % des patients sont âgés entre 30 et 50
ans.
On pourrait aussi calculer un coefficient de variation par
l’écart inter-quartiles rapporté à la médiane soit 20/40 = 50% mais
en pratique, il est peu utilisé. Si vous le croisez, sachez
néanmoins qu’il n’est point farfelu.
Quel rapport avec l’intervalle de confiance ?
Toutes les statistiques de dispersion que nous venons d’évoquer
sont des statistiques qui restent descriptives, c’est-à-dire qui
concernent l’échantillon et lui seul. Il n’y a pas de notion de
risque, c’est une observation. Ces statistiques vont être utilisées
pour pouvoir réaliser des estimations pour l’ensemble de la
population, avec cette fois-ci un risque d’erreur à introduire
compte tenu de l’extrapolation que l’on va réaliser pour
généraliser les résultats de l’échantillon à l’ensemble de la
population.
Cette démarche va concerner bien sûr les caractéristiques de
base des patients mais aussi les résultats observés en fin de
traitement. On peut par exemple calculer la moyenne et la variance
du contrôle glycémique mesuré par l’HbA1c chez des patients
diabétiques de type II traité pendant 6 mois (6,4 % ± 2,0 dans
le tableau 1). Ces données descriptives vont permettre de fournir
un encadrement de la vraie valeur que l’on cherche à estimer, et
cet encadrement est fourni par l’intervalle de confiance.
L’intervalle de confiance permet d’exprimer la précision d’une
estimation (par exemple ici une moyenne) sous l’hypothèse de
normalité (cf. Médecine Thérapeutique ; Vol. 10, n° 2,
mars-avril 2004). Au niveau de l’interprétation, dans notre essai,
l’HbA1c est de 6,4 % ± 2,0 après 6 mois de traitement ;
l’intervalle de confiance est [6,3 ; 6,5] et signifie qu’il y
a 95 % de chances qu’après 6 mois de traitement l’HbA1c soit
compris entre 6,3 % et 6,5 %.
La borne inférieure (B–) et la borne supérieure (B+) d’un
intervalle de confiance se calculent à partir de la moyenne (m) et
de l’écart-type (ET) par :et respectivement :
Ce calcul fait donc intervenir les statistiques descriptives
calculées ainsi que d’autres valeurs :
- • Tout d’abord, la valeur 1,96 permettant, compte tenu
de la loi normale, d’obtenir 95 % de chances pour que la
valeur vraie soit dans l’intervalle de confiance. Cette valeur
aurait été de 1,64 pour calculer un intervalle de confiance à
90 %.
- • Le second, l’effectif n, donnant ainsi une précision
d’estimation : il est bien évident qu’une moyenne évaluée sur
un grand nombre de sujets est plus fiable et plus précise qu’une
moyenne évaluée sur seulement quelques patients. Par l’introduction
de l’effectif, on détermine ainsi une dispersion/précision :
: cette fraction est appelée l’écart-type de la
moyenne (en anglais Standard error ou Standard error of
the mean) car elle permet un calcul direct de la précision de la
moyenne. L’écart-type de la moyenne (ETM) est souvent utilisé
notamment dans les figures de part et d’autre du point moyen, car
il minimise artificiellement ce que le lecteur pense être une
expression de l’intervalle de confiance à 95 %
(c’est-à-dire calculé par m ± 1,96 × ETM) alors qu’en
réalité il s’agit d’un intervalle à 70 % (m ±
1 × ETM). L’ETM n’est ici qu’un intermédiaire mathématique
permettant de déterminer l’intervalle de confiance.
En conclusion, un simple résultat central doit être assorti de
sa dispersion pour permettre une description précise des résultats.
Cette dispersion permet aussi de calculer la précision de
l’estimation d’un effet, par exemple l’intervalle de confiance
d’une différence de moyennes de cholestérol entre deux
thérapeutiques différentes étudiées au cours d’un essai
randomisé.
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