Simulation numérique des crues par un modèle 1D (étude du cas d'un oued algérien et de trois autres rivières)

ARTICLE

Auteur(s) : Mahmoud Hasbaia¹, Lahouari Benayada²

¹Département d'hydraulique Université de M'sila BP 166 Echebilia 28000 M'sila Algérie
²Département d'hydraulique Université des sciences et de technologie d'Oran (USTO) BP 1505 El Menaouar Bir Eldjir 31000 Oran Algérie

Les précipitations dans les bassins-versants algériens sont caractérisées par des fluctuations saisonnières avec une forte irrégularité spatio-temporelle et par des intensités agressives. La pluviométrie moyenne pour l'ensemble du pays est de 68 mm/an, mais elle varie de quelques mm/an au sud du pays à 1 500 mm/an dans la région côtière du Nord-Est. De même, la pluviométrie varie de 350 mm/an à l'ouest à 1 000 mm/an à l'est [1]. Des pluies torrentielles ont été enregistrées dans la région nord ouest de l'Algérie durant 72 à 78 jours/an sur une période d'observation de 25 ans [2]. Sur le bassin de Mekerra dans l'ouest de l'Algérie, à 100 km de la Méditerranée, l'intensité de pluie a atteint 40 mm/h durant l'orage de la nuit du 3 au 4 octobre 1986. Cette averse a provoqué l'inondation des communes riveraines, y compris la grande ville de Sidi-Bel-Abbes [3]. La lutte contre les débordements de cet oued a coûté 0,33 million de dollars US pour protéger la ville de Ras Elma, en plus de la réalisation du barrage de Tabia en amont, avec une enveloppe de 20 millions de dollars US¹.

Les oueds sont des cours d'eau temporaires des régions arides. En Algérie, ils sont caractérisés par un régime fluvial, par des lits souvent mobiles et par de faibles pentes. L'écoulement est perturbé par les remous dus à la concomitance des crues et à l'obstruction de leurs débouchés. Les oueds des trois bassins régionaux à l'est de l'Algérie, appelés communément « Côtiers constantinois », traversent les meilleures plaines agricoles. Ils engendrent par manque de régularisation l'érosion et le recul des berges, ce qui réduit chaque année les surfaces agricoles [4].

Le débordement des oueds en Algérie est favorisé par leurs petites sections travsversales en plus des intensités des pluies et de la réponse rapide des bassins. À titre d'exemple, l'oued Mekerra, avec des crues centennales de 1 500 m³/s n'a que 4 à 12 m de largeur et une profondeur comprise entre 3 et 5 m [3]. De même, l'oued Bousaâda reçoit les mêmes ordres de débits avec une largeur moyenne de 27,5 m et une profondeur variant entre 3 et 6 m.

Le 8 mars 2007, les services de l'hydraulique ont enregistré le débordement de l'oued El Harrache à Alger de plus de 1,8 m pour un débit de 1 800 m³/s. Les zones basses ont été complètement submergées par l'eau². Dans la même période, l'oued Isser à Boumerdes a débordé en deux endroits, sur une centaine d'hectares : l'eau a dépassé 2 m de hauteur³ dans le lit majeur.

Suite aux précipitations, les caractéristiques d'écoulement dans les oueds (débit et hauteur d'eau) s'élèvent graduellement jusqu'à un maximum (souvent unique en Algérie), puis s'abaissent pour revenir à l'état initial sec. Les crues générées à l'exutoire d'un bassin-versant se propagent le long de son cours d'eau principal, avec une atténuation et un retard des débits maximums à cause des frottements et des stockages. Ce phénomène est caractéristique des écoulements transitoires qui sont gouvernés par les équations de Saint-Venant. Ces équations n'ont de solutions analytiques que dans certains cas avec beaucoup de simplifications. Les méthodes numériques des éléments, volumes, et différences finies sont incontournables pour résoudre ce type d'équations. Parmi les schémas numériques qui existent dans la littérature, le schéma aux différences finies de Preissmann est très utilisé dans les modèles 1D de l'hydraulique fluviale [5-8]. À travers une solution numérique des équations de Saint-Venant nous pouvons déterminer les débits et les profondeurs d'eau à chaque point du cours d'eau, et pendant chaque intervalle de temps durant la période de la crue. Ces résultats sont d'un intérêt majeur pour dimensionner et protéger les ouvrages riverains (ponts, déversoirs, retenues…) ainsi que les villes traversées par des oueds contre les inondations. Ils permettent de localiser les zones menacées par le débordement et d'avoir une estimation correcte du pic de la crue au cours de son passage dans le tronçon étudié. Ici, nous appliquons un code 1D à des cas réels.

Description du modèle numérique et des cas d'étude

Présentation du modèle

Le modèle s'appuie sur les équations 1D de Saint-Venant écrites sous la forme conservative suivante (équation de continuité (1) et équation de conservation de la quantité de mouvement (2))

où :

Q est le débit d'eau, h la profondeur d'eau, A la section mouillée, I_x la pente longitudinale du cours d'eau, J la pente de la ligne d'énergie, q_l le débit latéral par unité de longueur, g l'accélération gravitationnelle, et (x, t) sont les variables espace et temps, respectivement.

Ce système différentiel est fermé par une relation semi-empirique de dissipation d'énergie écrite sous la forme générale suivante :

où :

U est la vitesse moyenne d'écoulement, R_h le rayon hydraulique, k_1,2,3 sont des constantes qui dépendent de la formule de dissipation d'énergie utilisée, et d_* est le diamètre représentatif des sédiments du fond.

L'écriture (3) a été proposée initialement par Krishnappan [9] et reprise par Correia [5]. En changeant les coefficients k_1,2,3, l'expression (3) permet d'utiliser plusieurs formules de perte de charge appliquées dans les cours d'eau sur des fonds rigides ou mobiles [10-15]. Ces formules couvrent un grand nombre de cas pratiques ; leur utilisation doit respecter les conditions et les limites dans lesquelles elles ont été développées.

Schéma numérique de Preissmann

où :

i est l'ordre du maillage dans l'espace, j l'ordre du maillage dans le temps, (θ, φ) sont des coefficients de pondération dans le temps et dans l'espace, respectivement, Δx et Δt les pas d'espace et de temps, respectivement.

Le schéma centré en espace (θ =1/2) est le plus utilisé en hydraulique fluviale à fond fixe [7], alors que le schéma décentré dans l'espace et dans le temps est utilisé dans le cas de cours d'eau à fond mobile [5, 19, 20].

L'analyse de stabilité montre que l'utilisation du schéma numérique pour résoudre des systèmes d'équations hyperboliques non linéaires (telles les équations 1D de Saint-Venant) est stable sous la condition suivante [5, 7, 17, 21] :

telle que :

Cr est le nombre de Courant.

Liggett et Cunge [6] et Krishnappan [22] ont recommandé la condition θ ≥ 0,66 pour garantir la stabilité du schéma. Le schéma donne de bons résultats pour le régime subcritique, et les instabilités apparaissent davantage lors des passages par le régime critique [8].

Le signe des deux célérités des ondes de surface est déterminant dans l'étude des conditions aux limites. Pour le cas d'un écoulement torrentiel, les deux caractéristiques sont positives et toutes les perturbations vont de l'amont vers l'aval. En conséquence, les deux conditions aux limites sont imposées en amont. En revanche, pour un écoulement fluvial, les deux caractéristiques ont des signes contraires. Dans ce cas, l'une des conditions aux limites doit être imposée à l'amont et l'autre en aval.

La résolution du système algébrique résultant de la discrétisation est souvent faite par l'algorithme de double balayage [6, 20]. Il consiste à calculer les débits en premier lieu en allant de l'amont vers l'aval, puis revenir de l'aval vers l'amont pour calculer les profondeurs d'eau. Cette méthode est performante lorsque l'écoulement est strictement fluvial. Lors de l'utilisation de cette méthode pour la résolution de son modèle couplé de transport solide, Rahuel a remarqué des oscillations et des divergences pour des valeurs de φ supérieures à 0, 65 [7]. Pour lancer le double balayage, il faut qu'au moins une des deux conditions aux limites ne soit pas nulle, ce qui la rend inutilisable dans certains cas. Dans nos cas où le nombre de Courant varie entre 5,64 et 934,4, nous avons choisi une autre méthode, à savoir la méthode proposée par Correia [5], dite de procédure des solutions alternées, qui consiste à lier les conditions aux limites amont et aval par des substitutions successives.

Présentation des cas d'étude

Pour vérifier la qualité des résultats de notre modèle, nous avons élargi notre étude à d'autres rivières de piémont à partir des travaux de Baptista [23] et de Correia et al. [24]. Les caractéristiques des cours d'eau traités ici sont résumées dans le tableau 1 et les paramètres de calcul dans le tableau 2. Le choix de la formule de dissipation est effectué pour assurer une stabilité numérique optimale et les valeurs des paramètres utilisés sont fondées sur les travaux de divers auteurs précédemment cités [10-15].

Étude de cas algérien

Étude d'autres cas

Test 1 : crues rapides à doubles pics sur un long tronçon de rivière

Test 2 : crue lente sur un long tronçon de rivière

Test 3 : crue lente sur un canal artificiel

Résultats et interprétation

Pour le Rio Jacul et la Save (figures 2, 3, et 4), dont la longueur des tronçons étudiés est de l'ordre de 29 km, les atténuations calculées des débits maximums des crues sont de l'ordre de 17 % par rapport à ceux de l'entrée, tandis que les atténuations observées sont en moyenne de 26 % (tableau 3). La plus faible erreur est observée pour l'atténuation du pic de la crue de la Save, soit une erreur de 7,44 %, ce qui conforte l'utilisation de notre code pour les crues à pic unique. Toutefois, compte tenu d'une incertitude de la mesure des débits qui est au minimum de 10 % (ordre de grandeur usuel), on ne peut formuler de conclusion définitive.

Pour le cas de l'oued Bousaâda (figures 5, 6), les atténuations des débits maximums sont de 11 et 0,6 % pour les crues centennale et quinquennale, respectivement (tableau 3). Nous avons choisi la formule de Strickler dans la simulation de la crue centennale, et celle de Chezy pour la crue quinquennale. Bien que les deux crues soient similaires, nous avons remarqué une différence d'environ 10 % dans les atténuations. Ce résultat peut être expliqué par la différence de la longueur d'onde des deux crues, comme il peut l'être par la sensibilité des codes hydrodynamiques aux formules de dissipation d'énergie. La confirmation de l'une de ces explications exige une étude plus fine et sur plusieurs tests.

L'analyse des profondeurs d'eau pour le cas de l'oued Bousaâda montre que la valeur maximale de la hauteur d'eau sur tout le tronçon étudié était de 2,40 m en amont à la 7^e heure pour la crue quinquennale, tandis que, pour la crue centennale cette valeur était de 2,6 m en amont à la 6^e heure de la crue.

D'après ces résultats, et sachant que les profondeurs de l'oued varient entre 3 et 5 m, aucun débordement ne se produira. Toutefois, la ville de Bousaâda connaît presque chaque année des inondations à cause des débordements de l'oued. D'ailleurs, une étude de protection de la ville contre ces inondations est en cours. Cette simulation remet en cause les études hydrologiques donnant 86 m³/s comme débit maximum de la crue centennale, alors que la moyenne pour les oueds de la région (oued Ksob, oued Elham, oued Seboulla) dépasse les 1 000 m³/s pour des bassins-versants d'une superficie de l'ordre de 1 330, 6 130 et 184 km² respectivement⁵.

Pour le cas de la rivière Inn, on a représenté les limnigrammes en amont, en aval et à 100 m de l'amont, pendant toute la période de la crue (figure 7). Nos résultats rejoignent parfaitement les études menées par Correia [5, 24] et confirment que le débordement s'est produit en amont du canal sur une longueur de 100 m environ. Une telle simulation aurait évité les dégâts en conduisant à un simple renforcement des berges en amont du canal, ou à un curage de la couche des sédiments déposés sur le fond. Pendant la période 1979-1988 une couche de 0,3 m de sédiment a été déposée sur le fond [5].

Le retard des débits maximums des crues suit la même variation que les atténuations (tableau 3). Il est fonction de la longueur et de la résistance à l'écoulement des oueds. Plus la résistance est importante et plus le retard est important, et de même pour la longueur.

Tableau 3 Atténuations et retards des débits maximums des crues.

Conclusion

Nous avons remarqué la sensibilité des résultats de notre code aux formules de dissipation d'énergie. L'implémentation des formules de Chezy et de Strickler donne une différence des atténuations des débits des crues de l'ordre de 10 % pour le même cours d'eau (oued Bousaâda). Ce constat nécessite une étude plus exhaustive pour étudier cette sensibilité. Le calage de ces formules à des oueds en Algérie est jugé nécessaire.

La nature fluviale des oueds algériens met en évidence la nécessité d'avoir au moins deux stations hydrométriques dans le même oued pour imposer les conditions aux limites amont et aval ; d'autres stations sont nécessaires pour une meilleure validation des résultats. La fréquence des débordements enregistrés ces dernières années en Algérie nous pousse à recommander l'équipement en urgence des grands oueds (Elharrach, Chlef, Mekkera…) par plusieurs stations de mesures automatiques, pour permettre le contrôle de l'hydrométrie en temps réel.

La comparaison des résultats des trois premières crues avec les observations montre une atténuation des débits maximums de l'ordre de 17 %, avec une erreur moyenne de l'ordre de 30 %, ce qui montre que les résultats sont satisfaisants par rapport aux incertitudes des mesures, aux longueurs des tronçons simulés et aux limites des modèles 1D. Les études des inondations ainsi que le dimensionnement des ouvrages hydrotechniques et des ponts doivent prendre en considération ces réductions de débit pour éviter le surdimensionnement et pour bien gérer les catastrophes.

Notre code constitue à ce stade de développement un moyen efficace pour étudier le comportement et les conséquences de l'écoulement dans les oueds algériens suite aux événements de fortes précipitations enregistrés ou projetés ; néanmoins, des développements supplémentaires sont incontournables. Ces derniers peuvent porter sur le traitement des discontinuités et les modifications rapides des variables, ainsi que sur l'utilisation d'autres types de schémas comme les schémas à capture des chocs qui sont beaucoup mieux adaptés à ce type de cas.

Remerciements

Références

2 Bouanani A. Hydrologie Transport Solide et Modélisation. Étude de quelques sous-bassins de la Tafna (NW-Algérie). Thèse de doctorat d'État, Tlemcen, université Abou Bekr Belkaid, 2004.

3 Borsali AH, Bekki A, Hasnaoui O. Aspect hydrologique des catastrophes naturelles ” Inondation, glissement de terrains” Etude d'un cas Oued Mékerra (Sidi bel abbés). XXIII° Rencontres universitaires de génie civil. Grenoble : AUGC, 2005.

4 Belloum A. Hydrologie agricole en Algérie – une double problématique. Hydrol Sci J 1993 ; 38-6 : 479-95.

5 Correia LP. Numerical modeling of unsteady channel flow over a mobile boundary. Thèse de doctorat, école polytechnique fédérale, Lausanne, 1992.

6 Liggett W, Cunge JA. Numerical methods of solution of the unsteady flow equations, unsteady flow in open channels. Fort Collins (Colorado) : Water Resources Publications, 1975.

7 Rahuel JL. Modélisation de l'évolution du lit des rivières avec granulométrie étendue. Thèse de doctorat, Institut national polytechnique, Genoble, 1988.

8 Sam SYW, Weiming W. River sedimentation and morphology modeling –The state of the art and future development. Proceedings of the Ninth International Symposium on River Sedimentation, Yichang, 2004.

9 Krishnappan BG. Modelling of Unsteady Flows In Alluvial Streams. Journal of Hydraulic Engineering-ASCE 1985 ; 111 : 257-66.

10 Brownlie WR. Prediction of flow depth and sediment discharge in open channels. Report N° KH-R-43A, W. M. Keck. Sl : Laboratory of hydraulics and Water resources Institute of Technology, 1981.

11 Engelund F. Closure to hydraulic resistance of alluvial streams. Journal of the Hydraulics Division-ASCE 1967 ; 93 : 287-96.

12 Garde RJ, Ranga Raju K. Resistance relationships for alluvial channel flow. Journal of the Hydraulics Division-ASCE 1966 ; 92 : 77-100.

13 Graf WH. Hydraulique Fluvial. Lausanne : Presses polytechniques et universitaires romandes, 1966.

14 Griffiths GA. Flow Resistance in Coarse Gravel Bed Rivers. Journal of the Hydraulics Research 1981 ; 107 : 899-918.

15 Van Rijn LC. Sediment Transport Part III: Bed Forms and Alluvial Roughness. Journal of Hydraulics Engineering-ASCE 1984 ; 110 : 1733-54.

16 Preissmann A. Propagation des intumescences dans les canaux et les rivières. Premier Congrès de l'Association Française de calcul, Grenoble, 1961.

17 Cunge JA, Holly FM, Verwey A. Practical aspects of computational river hydraulics. London : Pitman Publ, 1986.

18 Giraud FM, Faure JB, Zimmer D, Lefeuvre JC, Skaggs RW. Hydrologic modelling of a complex wetland. Journal of Irrigation and Drainage engineering 1997 ; 123 : 344-53.

19 Belleudy P. Modélisation de l'évolution morphologique du Danube et de l'Isar. La houille Blanche 1994 ; 4 : 72-7.

20 Holly JFM, Rahuel JL. New numerical/Physical Framework For Mobile-Bed Modelling, part 1: Numerical and physical principles. Journal of Hydraulics Research 1990 ; 28 : 401-16.

21 Lyn DA, Goodwin P. Stability of a General Preissmann scheme. Journal of Hydraulics Engineering-ASCE 1987 ; 113 : 16-28.

22 Krishnappan BG. Users manual: Unsteady non uniform mobile boundary flow model-MOBED. Burlington (Ontario) : National Water Research Institute, 1981.

23 Baptista M. Contribution à l'étude de la propagation des crues hydrologiques. Thèse de doctorat, école nationale des ponts et chaussées, Paris, 1990.

24 Correia LP, Krishnappan BG, Graf WH. Numerical modeling of unsteady sediment transport. Journal of Hydraulics Engineering-ASCE 1992 ; 118 : 479-94.

1 Service d'hydraulique du département de Sidi Bel-Abbes.

2 Service d'hydraulique du département d'Alger.

3 Service d'hydraulique du département de Boumerdes.

4 Service d'hydraulique du département de M'sila.

5 Service d'hydraulique du département de M'sila.