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Étude comparative de trois méthodes de calcul du coefficient de tarissement des cours d‘eau


Science et changements planétaires / Sécheresse. Volume 14, Numéro 1, 37-42, Janvier 2003, Note méthodologique


Résumé   Summary  

Auteur(s) : Issiaka Savane, Kapo Martin Coulibaly, Pierre Gioan, Centre de recherche en écologie, Université Abobo‐Adjamé, 08 BP 109 Abidjan 08, Côte d‘Ivoire <savaneihotmail.com>. North Carolina State University, Department of Marine Earth and Atmospheric Sciences, 1125 Jordan Hall, NCSU Box 8208, Raleigh, NC 27695‐8208, États‐Unis <tchaya2hotmail.com>. Centre universitaire de recherche et d‘application en télédétection (CURAT), Université de Cocody‐Abidjan, 22 BP 801 Abidjan 22, Côte d‘Ivoire <gioanpsyfed.ci.refer.org> .

Résumé : Le présent travail se propose de comparer trois méthodes de calcul des coefficients de tarissement des cours d‘eau : les deux méthodes traditionnelles (Maillet et Castany) et une nouvelle méthode, la résolution par dichotomie. La méthode de Maillet se résout de façon classique en reportant sur un graphe les valeurs du coefficient de tarissement obtenues sur le cours. La méthode de Castany est une modification du modèle de Maillet par une transformation logarithmique de la fonction afin de déterminer la vidange du réservoir sur des tronçons linéarisés. La méthode de résolution par dichotomie introduit la notion de durée du régime de tarissement et permet une reconstitution plus précise des tarissements en des sites où les données sont lacunaires. Ces trois méthodes sont comparées quant à leur niveau de précision pour des régimes de tarissement différents (court ou long). La méthode de Maillet s‘avère mieux adaptée au régime de tarissement long avec absence de pluies parasites. Les deux autres méthodes correspondent davantage aux autres régimes de tarissement. La méthode de Castany, de par son caractère manuel, reste néanmoins beaucoup moins rigoureuse que la méthode par dichotomie dont le degré de précision peut être défini par l‘utilisateur (jusqu‘à 10  ‐‐ 8). La procédure de calcul, programmée en Qbasic et Visual Basic for Application pour Excel, peut être obtenue auprès des auteurs.

Mots-clés : Tarissement \; Cours d‘eau.

Illustrations

ARTICLE

Auteur(s) : Issiaka Savane1, Kapo Martin Coulibaly2, Pierre Gioan3

1 Centre de recherche en écologie, Université Abobo-Adjamé, 08 BP 109 Abidjan 08, Côte d’Ivoire
<savanei@hotmail.com>
2 North Carolina State University, Department of Marine Earth and Atmospheric Sciences, 1125 Jordan Hall, NCSU Box 8208, Raleigh, NC 27695-8208, États-Unis
<tchaya2@hotmail.com>
3 Centre universitaire de recherche et d’application en télédétection (CURAT), Université de Cocody-Abidjan, 22 BP 801 Abidjan 22, Côte d’Ivoire
<gioanp@syfed.ci.refer.org>

Les sécheresses récentes observées en Afrique de l’Ouest (1970, 1983) [1] et dans le monde en général, ainsi que la forte pression exercée sur les ressources en eau par la croissance des populations font de la gestion des eaux une priorité de tout premier ordre. La première étape qui précède cette gestion reste avant tout l’évaluation des ressources. Il devient alors fondamental de confectionner des outils de calculs précis pour faciliter à la fois l’évaluation et la quantification des ressources disponibles. C’est dans ce cadre qu’une évaluation des quantités d’eau de la région occidentale de la Côte d’Ivoire a été entreprise. Cette évaluation est établie à partir des méthodes d’analyse du tarissement des cours d’eau et de l’alimentation des aquifères pendant la saison des pluies.
Plusieurs travaux sur le tarissement et la vidange des cours d’eau ont été réalisés surtout dans les pays européens et méditerranéens. Certains auteurs tels que Ambroise [2], Llamas [3], Réménieras [4], Roche [5] et Von Te Chow [6] ont discuté les différents modèles hydrologiques qui caractérisent les régimes des cours d’eau. Certains travaux mettent l’accent sur le fonctionnement hydrologique des altérites et des sols [7, 8], sur l’analyse des décrues et des tarissements dans la connaissance des réserves hydrologiques [9], les caractéristiques du bassin de drainage [10], sur la méthode d’estimation de l’alimentation souterraine des rivières [11] et sur des méthodes pour distinguer ce qui est dû à l’écoulement souterrain sur l’écoulement des fleuves [12, 13].
On note très peu de travaux sur les régimes des cours d’eau dans les zones semi-arides en raison du caractère très bref du tarissement. Ainsi, le modèle de Maillet qui s’adapte à un régime de tarissement long, serait difficilement applicable à ces zones où la saison des pluies dure 3 mois et la saison sèche plus de 9 mois. Considérant ce fait, nous avons introduit un paramètre dans le modèle de Maillet, qui prend en compte la nature des différents régimes de tarissement. Cette approche présente l’avantage de pouvoir calculer le coefficient de tarissement avec une bonne approximation et un gain de temps appréciable.
L’objectif assigné dans cette étude est de pouvoir comparer deux méthodes traditionnelles d’évaluation du coefficient de tarissement des cours d’eau et les volumes mobilisés avec une nouvelle méthode faisant appel à la résolution par dichotomie. C’est ainsi que les méthodes de Castany [14], Maillet [15] et de résolution dichotomique sont appliquées sur deux cours d’eau de la région semi-montagneuse de Man (ouest de la Côte d’Ivoire) : sur le N’zo à Kahin à un tarissement court, et sur le Sassandra à Piebly à un tarissement long. La comparaison des résultats va permettre de déterminer le degré de précision des trois méthodes et leur domaine de validité.

Les méthodes

Il existe trois méthodes possibles pour déterminer le coefficient de tarissement, toutes inspirées du modèle de Maillet : la méthode de Maillet [15], le modèle de Maillet amélioré par Castany [14] et la résolution dichotomique.

Méthode de Maillet

L’expression mathématique du tarissement ou loi de Maillet, s’écrit :

Qt = Q0 e–αt   (1)

où :
Qt est le débit à l’instant t donné ;
Q0  est le débit initial ;
et α un coefficient de tarissement de Maillet.
La loi de Maillet a pour modèle un seul réservoir. Deux cas sont à considérer : l’ensemble de l’aquifère est soit traité comme un seul réservoir, soit comme la somme de plusieurs réservoirs.
En régime non influencé on estime que la courbe annuelle de tarissement exprime la vidange successive du ou des réservoirs souterrain(s) et que la quantité d’eau récupérée à la station de jaugeage correspond aux volumes dynamiques mobilisés par l’ensemble des aquifères du bassin. L’expression du volume écoulé en mà chaque instant est donnée par :

ce qui donne :

V = Q0 /α×(1–e–αt)×86 400  (3)

(1 jour = 86 400 s (Q0 est en m/s et α en jour – 1)).
On calcule donc V sur la période de tarissement (le tarissement se poursuivant d’octobre à décembre) à partir des débits journaliers. Mathématiquement, cette valeur correspond à la surface délimitée par l’axe des abscisses et la courbe de tarissement. Cette surface peut être évaluée avec précision par la méthode des trapèzes, puisque les paramètres de l’intégrale (α et V), inconnus, sont à déterminer. Nous utiliserons donc cette méthode.
Si on nomme It le pas de temps utilisé (10 jours), Q0, Q1, Q2,........Qn, les débits mesurés tous les dix jours, on obtient ainsi :

V = It/2 × (Q0 + Qn + 2 (Q1 + Q2 + Q3 + ...... + Qn–1)) × 86 400 s  (4)

or V = Q0/α(1 – e- αt) × 86 400 s pour t grand (long temps de tarissement), e– αt est négligeable, l’équation devient donc :

V = Q0 /α × 86 400 s

d’où :

α = Q0 /V) × 86 400 s  (5)

V étant connu, il devient facile de calculer α en remplaçant V par sa valeur obtenue grâce à l’équation (4), on obtient donc :

α = Q0 /(It/2 × (Q0 + Q n+ 2 (Q1 + Q2 + Q3 + ..... + Qn–1)))  (6)

Méthode de Castany

La formule de Maillet étant :

Qt = Q0 e–kt

on peut écrire l’équation réciproque suivante :

log Qt = log Q0 – kt(loge)

où :
Qt est le débit à l’instant t donné ;
Q0  le débit initial ;
et k le coefficient de tarissement de Maillet.
En remplaçant log(e) par sa valeur numérique 0,4343 on obtient :

log Qt = log Q0 – (0,4343k)t  (7)

Si nous portons les données du tarissement sur un graphique avec le log des débits en ordonnées, et en abscisses le temps en jours, nous obtenons une droite dont l’ordonnée à l’origine donne la valeur de Q0. Lorsque la courbe obtenue n’est pas linéaire (cas de décrues successives), la droite de tarissement est une droite tangente aux minima (figure 1).
Q0 est ainsi déterminé de façon bien plus précise de manière graphique que par une localisation arbitraire sur l’hydrogramme [3] ; de même, k peut se calculer à partir du coefficient angulaire de la droite, mais il est préférable de l’estimer à partir de la formule logarithmique. On détermine le temps t pour lequel Qt = 1, c’est-à-dire log Qt = 0 sur le graphique (intersection entre droite de tarissement et axe des abscisses). On peut ainsi déduire k en utilisant la formule. Dans notre cas, k sera estimé par le coefficient angulaire compte tenu de la faible pente de la droite, qui ne permet pas la construction décrite ci-dessus. Une fois Q0 et k obtenus, il suffit alors d’intégrer la formule mathématique du tarissement pour avoir le volume d’eau mobilisé par les aquifères du bassin-versant.

Modèle de Maillet amélioré par résolution dichotomique

Le terme e– kt n’étant pas toujours négligeable, la résolution de l’équation prenant en compte ce facteur serait une meilleure garantie de précision. Pour cela, on utilise la méthode de dichotomie. En effet, les deux modèles précédents offrent bien des défauts que la nouvelle procédure contourne :
– l’exploitation graphique des deux méthodes précédentes est fastidieuse et nécessite beaucoup de temps ;
– la prise en compte des lacunes dues au manque de mesures ou de tarissements incomplets en raison de la brièveté de la saison des pluies dans les zones tropicales devient alors possible ;
– l’amélioration de la précision des calculs et de l’exploitation graphique évite les erreurs du traitement manuel introduit.
On pose donc :

V/Q0 = 1/k – e–kt /k

En regroupant tous les termes dans un seul membre, on obtient :

e–kt /k + V/Q0 – 1/k = 0

Cette équation peut être résolue par la méthode de dichotomie.
Pour simplifier l’écriture, on pose :

V/Q0 = B

Le temps t est le temps de tarissement en régime non influencé sur la courbe. Ce temps est une valeur directement mesurable sur le graphe. Sa valeur est donc connue. En appelant A cette valeur, l’équation définitive devient alors :

e–Ak /k + B – (1/k) = 0  (8)

où k est l’inconnue ;
soit la fonction f(k) = e– Ak / k + B – 1/k, on cherche k positif, car le coefficient de tarissement de Maillet est un nombre positif tel que f(k) = 0.
On procède donc à l’étude de f(k) à droite de zéro ; dans cette hypothèse :

A > 0   B = V/Q0  > 0

d’où :

f’(k) = – Ae kA /k – e–kA /k2 + 1/k2

soit

f’(k) = 1/k2(1 – Ak e–kA – e–kA)

Le signe de f’ qui détermine le sens de variation de f dépend donc de :

g(k) = 1 – Ak e–kA – e–kA ;

aussi

g’(k) = A2 k e–kA + A e–kA g’ > 0 g(k)

est donc une fonction strictement croissante. Lim g(k) en zéro à droite =  0, g étant croissante, on en déduit qu’elle est positive de zéro à (+ ∞). D’où f’(k) > 0 pour k > 0, ce qui implique que f est strictement croissante, de zéro à plus l’infini.
La limite de f en zéro est moins l’infini (– ∞) et sa limite en plus l’infini (+ ∞) est B (B > 0) ; f étant croissante, on est sûr qu’il existe un k pour lequel f(k) = 0. La représentation graphique de f(k) montre clairement que cette fonction s’annule entre 0 et une valeur positive qui correspond à B (figure 2).
On considère donc un k1 proche de zéro pour lequel f(k1) < 0, puis un autre, k2, assez grand pour lequel f(k2) > 0. On calcule f(k3) tel que k3 = (k1 + k2)/2. Si f(k3) et f(k1) sont de même signe, on est sûr que k0 pour lequel f(k0) = 0 est compris entre f(k3) et f(k2). Dans le cas contraire, il est compris entre f(k3) et f(k1).
On recommence ainsi toute la procédure avec les deux bornes de l’intervalle qui contient k0, jusqu’à ce que k1 et k2 soient presque égaux ou qu’ils diffèrent d’un nombre très petit dont on choisira la valeur (ici, de l’ordre de 10 – 8). Pour cela, on sélectionnera une précision assez grande. Cette procédure de calcul a été effectuée sur ordinateur au moyen d’un programme écrit en langage QBASIC 1.1 de Microsoft et en Visual Basic Application pour Excel.

Application et comparaison des trois méthodes de calcul du coefficient de tarissement

Situation du site

Climat

Le Sud-Ouest est situé dans le domaine guinéen caractérisé par un régime climatique équatorial et subéquatorial à deux maxima pluviométriques. Le mois de juin marque le maximum pour la grande saison pluvieuse, et septembre le maximum pour la petite saison des pluies. Les deux maxima sont séparés par un ou deux mois plus ou moins pluvieux qui constituent la grande et la petite saison sèche [16].

La pluviométrie est donc répartie en quatre saisons avec une petite saison sèche peu marquée. La région est située entre les isohyètes 16 000 et 1 800 mm, le total annuel moyen y est de 1 750 mm.

Hydrologie

Le fleuve Sassandra prend sa source dans la confluence du système Boa/Sien/Tiemba, au nord de Touba. Il reçoit en rive droite, la Bagbè, le Bafing et le N’Zo et, en rive gauche, le Lobo et le Davo. Son embouchure se situe près de la ville de Sassandra après 650 km de cours principal. Au total, le bassin de Sassandra couvre une superficie de 74 500 km2.
Le réseau hydrographique du Sassandra est généralement très hiérarchisé avec un chevelu dense, globalement de type dendritique. Son profil a un aspect heurté, en marche d’escalier, avec de nombreuses portions en pente forte liées aux rapides qui accidentent son cours sinueux jusqu’à l’embouchure. Parmi ces rapides, signalons ceux de Balé, Broudé, Barakué, Poutopotou et Bola. Dans la région de Soubré, se trouvent les chutes Nahoua suivies d’une série d’autres rapides jusqu’au confluent du Davo.

Contexte géomorphologique et géologique

La région de Buyo est une vaste plaine d’altitude moyenne de 210 m, où quelques inselbergs rompent la monotonie du paysage. La partie haute de la plaine atteint à peine 280 m. La région Duékoué est marquée par une quarantaine d’inselbergs qui ponctuent la plaine de façon désordonnée ; ils ont généralement entre 380 et 450 m d’altitude.
Le versant oriental du Sassandra est une vaste pédiplaine légèrement inclinée du nord-est vers le sud-ouest. La vallée du fleuve Sassandra est évasée et le fleuve serpente dans sa large plaine d’inondation.
Sur le plan géologique, la zone d’étude est caractérisée par deux orogenèses majeures qui ont structuré les formations du bouclier ouest-africain. Il s’agit de l’orogenèse libérienne (2 780-2 750 millions d’années) et de l’orogenèse éburnéenne (2 700-1 550 millions d’années) [17]. Le vieux socle libérien est formé de quartzites ferrugineux (itabirites), de pyroxénites, d’amphibolites, de migmatites, de charnockites, de granite d’anatexie et de gneiss. Quant au complexe éburnéen, il est constitué de formations volcaniques, volcano-sédimentaires et métamorphiques ainsi que de granitoïdes.
Les altérations produites par les migmatites, les gneiss, les anorthosites, les norites du Libérien et les gneiss du Birrimien ont sensiblement le même profil. Sous une couverture latéritique de trois ou quatre mètres, se trouvent les argiles rouges violacées, dans lesquelles la structure initiale de la roche est souvent conservée, et qui se mélangent aux arènes plus ou moins abondantes sur les quatre ou cinq derniers mètres. Sur les roches birrimiennes, les altérations sont plus épaisses, plus argileuses et on n’y rencontre pas d’horizons arénisés. L’épaisseur d’altération est d’environ quinze à vingt mètres sur les terrains granitiques.
Généralement, les aquifères d’altérites sont en contact hydraulique avec les aquifères des roches fracturées sous-jacentes. Ils y forment un système aquifère bicouche avec la zone altérée surtout capacitive et le milieu fissuré surtout conducteur. La zone altérée peut être décrite comme un milieu à porosité d’interstices où les lois classiques fondées sur celles de Darcy sont applicables. Les caractéristiques hydrodynamiques se présentent comme suit : la transmissivité moyenne est d’environ 1,10. 10 – 4 m2/s ; le coefficient d’emmagasinement varie de 10 – 4 à 10 – 3.

Calcul du coefficient de tarissement du fleuve Sassandra à Piébly

La courbe de tarissement du fleuve Sassandra à Piébly en 1993 présente une allure de tarissement moyen, d’une durée de 100 jours (3 mois 10 jours). En fait, cette courbe moyenne est liée à une reprise des précipitations précédant le tarissement complet. En raison de la diversité des climats affectant le bassin-versant drainé par l’exutoire de Piébly (climat de montagne à l’ouest et climat soudanien au nord) la durée du régime non influencé s’en trouve forcément raccourcie.
En traçant les trois courbes de tarissement obtenues avec les différents coefficients calculés selon les trois méthodes et en les comparant sur un même graphe avec la courbe des débits naturels (figure 4), on se rend compte que, dans l’ensemble, les trois courbes épousent assez correctement le débit observé. Mais il faut noter toutefois que le débit calculé par la méthode Castany donne une approximation par défaut, puisque sa courbe représentative est parfaitement tangente aux minima relatifs de la courbe naturelle. Bien que son allure générale soit plus proche de la courbe naturelle, sa précision va dépendre de la rigueur de la construction effectuée manuellement.
La méthode de dichotomie tendrait quant à elle davantage vers les valeurs supérieures de la courbe naturelle. On remarque ici que la courbe obtenue par cette méthode diffère assez peu de celle obtenue en négligeant le facteur e – kt pour obtenir une équation linéaire. Cela s’explique par le fait que plus le tarissement est long, plus ce facteur devient négligeable, et par conséquent, ce mode de résolution devient plus précis. C’est-à-dire qu’un tarissement de 3 mois 10 jours est suffisamment long pour que ce facteur devienne effectivement négligeable.

Calcul du coefficient de tarissement du N’zo à Kahin

Dans le cas d’un tarissement plus court, tel que celui observé sur le N’zo (figure 3) à Kahin en 1993, le tarissement est très perturbé. Seuls 5 jours de régime non influencé ont été observés. En construisant les différentes courbes de tarissement, on constate que la courbe calculée selon le modèle de Maillet en négligeant le facteur e – kt s’écarte de la courbe naturelle avec la durée, alors que la courbe dichotomique se superpose à la courbe de débit naturel (figure 5), ce qui illustre la supériorité de notre méthode, pour ce type de cas de figure.
Les courbes des figures 4 et 5 ne sont pas lissées. L’allure de ces courbes s’explique par le fait que les cours d’eau naturels ne donnent pas toujours de parfaites courbes de tarissement.
Les résultats des coefficients de tarissement en fonction des trois méthodes sont résumés dans le tableau I.

Tableau I. Résultats des coefficients de tarissement selon les trois méthodes.



Méthodes Qo k(alpha) Cours d’eau
Maillet 828 0,023 Sassandra à Piebly 1993
Dichotomie 828 0,021
Castany 992 0,029
Maillet 243 0,230 N’Zo à Kahin 1993
Dichotomie 243 0,3

Discussion

La première méthode, celle de la loi de Maillet, est la mieux adaptée aux longs tarissements, cas de climat semi-aride ou à deux saisons bien marquées, comme dans le nord de la Côte d’Ivoire, et présente l’avantage d’être très facile à mettre en œuvre.
À partir des deux exemples de calcul des coefficients de tarissement, on peut constater que la méthode de Castany reste applicable quel que soit le régime du cours d’eau considéré, mais elle présente l’inconvénient d’être assujettie à la rigueur des constructions graphiques et d’être approximative pour les valeurs inférieures.
La méthode de résolution par dichotomie apparaît quant à elle applicable à tous les régimes de cours d’eau. En effet, elle présente l’avantage de permettre le calcul du coefficient de tarissement de Maillet avec une bonne approximation, même si on ne dispose que d’un minimum de données (cas des lacunes dues au manque de mesures, ou des tarissements incomplets en raison de la brièveté de la saison des pluies). Toutefois, elle nécessite l’utilisation de l’outil informatique, ce qui n’est plus un handicap.
La méthode proposée par Castany est une transformation statistique du modèle de Maillet. Comme toute étude statistique, cette approche introduit des erreurs d’autant plus grandes que le nombre de points ayant servi à la construction des courbes est réduit. Par conséquent, pour un tarissement court, ce modèle introduirait une erreur plus grande.
La méthode de dichotomie n’est peut-être pas un nouveau modèle, mais elle représente une évolution méthodologique importante du modèle de Maillet qui met l’accent sur l’évaluation des paramètres, notamment le coefficient de tarissement α (ou k) et le volume mobilisé.

Conclusion

L’outil informatique et sa puissance de calcul permettent d’améliorer, en affinant la précision, la méthode de coefficient de tarissement jusqu’alors traditionnelle : résolution graphique ou calculée. Cette méthodologie de résolution par dichotomie qui est nouvelle, présente un intérêt fondamental.
Sur le plan scientifique, les méthodes de Maillet et de Castany jusqu’alors très approximatives deviennent beaucoup plus performantes de par l’introduction de la dichotomie qui fournit une bonne approximation dont la précision est laissée au libre arbitre de l’opérateur (10 – 8, dans notre cas). Elle permet de reconstituer des tarissements en des sites où les données sont lacunaires.
L’application faite sur les cours d’eau dans un milieu tropical, à savoir le N’zo et le Sassandra, a permis de montrer la limite de validité de chaque méthode. La méthode de résolution par dichotomie apparaît comme la synthèse des méthodes de Maillet et de Castany avec une bonne approximation du coefficient de tarissement. Il ne s’agit pas d’un nouveau modèle initié, mais d’une nouvelle méthode d’évaluation plus précise des paramètres qui composent le modèle de Maillet.

Sur le plan pratique, un procédé de calcul écrit en Quick basic et en Visual Basic for Application pour Excel est disponible.n

Références

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